美国麻州的克雷（Ｃｌａｙ）数学 究所于２０００年５月２４日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上， 参 了一个盛大的晚会。由于感到局促不安， 想知道这一大厅中是否有 已经认识的人。 的主人向 提议说， 一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟， 就能向那里扫视，并且发现 的主人是正确的。然而，如果没有这 的暗示， 就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有 认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉 ，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积， 可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉 它可以 子分解为３６０７乘上３８０３，那么 就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这 的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陈述的。
“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了 究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎 的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增 的简单 何营 块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们 究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的 何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须 上某些没有任何 何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的 何部件的(有理线性)组合。
“千僖难题”之三： 庞 莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同 的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞 莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得 比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这 的数称为 数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种 数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到， 数的频率紧密相关于一个精心构 的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕 数分布的许多奥秘带来光明。
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